2010年考研数学一，
大家好！本文和大家一下这道2010年高考新课标全国卷的数学压轴题。这道题考查的是常见函数的求导、导数与函数的单调性、不等式、放缩法等知识。不过，这道题的难度其实并不大，很多高三学生看完后都表示很简单。
先看第一小问：求函数的单调区间。
对于复杂函数来说，导数是求单调性比较万能的一个方法，这一问就是利用导数来求函数的单调性。
当a=0时，f(x)=e^x-1-x，由常见函数的求导法则可得：f'(x)=e^x-1。令f'(x)=0，即e^x-1=0，解得x=0。当x＜0时，f'(x)＜0，f(x)为减函数；当x＞0时，f'(x)＞，f(x)为增函数。所以函数f(x)的单调递减区间为(-∞,0)，单调递增区间为(0,+∞)。
再看第二小问：求参数的取值范围。下面和大家分享两种解法。
解法一：
当x≥0时，f(x)≥0恒成立，那么也就是说f(x)在x≥0上的最小值大于等于零，所以接下来就需要求出f(x)的最小值。对于复杂函数，导数也是求函数最值的常用方法。
由f(x)=e^x-1-x-ax^2得：f'(x)=e^x-1-2ax。由(1)知，当a=0时，f(x)的最小值为f(0)，则f(x)≥f(0)，即e^x-1-x≥0，所以e^x≥1+x，当且仅当x=0时等号成立。
将这个关系式代入f'(x)得到，f'(x)≥1+x-1-2ax=(1-2a)x。
当a≤1/2时，1-2a≥0，所以f'(x)≥0在x≥0上恒成立，此时f(x)为增函数。那么，f(x)≥f(0)=0，结论成立。
当a＞1/2时，1-2a＜0，由e^x＞1+x(x≠0)可得：e^(-x)＞1-x，所以f'(x)＜e^x-1-2a[e^(-x)-1]=(e^x-1)(e^x-2a)e^(-x)。所以当0＜x＜ln2a时，f'(x)＜0，即此时f(x)为减函数，即此时f(x)＜f(0)=0，结论不成立。
综上，a的取值范围为a≤1/2。
解法二：
参变分离是求参数取值范围的重要方法，所以本题也可以用参变分离的方法求解。
当x＞0时，由f(x)≥0可以得到：a≤(e^x-1-x)/x^2。即a小于函数g(x)=(e^x-1-x)/x^2的最小值。
接着，对g(x)求导，得到g(x)在x＞0上是增函数，那么可以得到g(x)大于当x趋近于0时g(x)的极限。而x趋近于0时g(x)的极限可以用洛必达法则求解，所以g(x)＞1/2，则a≤1/2。
当x=0时，f(0)=0，结论成立。
所以a的取值范围为a≤1/2。
这道题就和大家分享到这里，你学会了吗？
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