英国数学家威廉·伯恩赛德在讲一些数学问题的时候，经常把表示理论这样的词说出来。
乔迪·威廉姆森说：“你一直说表示理论，这样的词，这是你的口头禅，还是一个数学理论。”
伯恩赛德说：“是一个理论。”
乔迪怀疑的问到：“表示的是什么？”
伯恩赛德说：“就是一种是一种把复杂的事物用较简单的事物‘表示’的方法。”
乔迪说：“我问的具体的是什么？是群？”
伯恩赛德说：“即使是群也有很多中不同的表示呢？”
乔迪叹气说：“我试着猜猜，比如用不可约群的组成来表示任何一个群这一类型的对吧？”
伯恩赛德说：“这是其中之一，复杂的对象通常是数学对象的集合，比如数字或对称性，它们彼此之间有着特殊的结构关系。”
乔迪说：“听起来不像是新东西，就是一个东西找基本单位而已。”
伯恩赛德说：“在1897年的时候，我觉得这种非正统的观点根本不会产生任何新结果。
我只是在用矩阵的方法表示一切，毕竟数学家基本上知道关于矩阵的一切。
它是为数不多的被完全理解的数学科目之一。
而且他完善到可以表示任何一种东西。”
乔迪说：“可问题是，关于你说的表示理论，研究这个问题是否合理，现在还不清楚。”
伯恩赛德说：“这种问题让人难以察觉，但是随着数学的深入发展，肯定越来越重要。
比如群组很重要，我们要把它们表示出来，而比较简单的对象是称为矩阵的数字数组，它是线性代数的核心元素。
群组是抽象的，通常很难掌握，而矩阵和线性代数是基本的。
要了解如何用矩阵表示群组，有必要依次考虑每个对象。”
乔迪说：“恩，比如李群的表示就需要这样。”
伯恩赛德说：“举个粒子，考虑一个等边三角形的六种对称性：两个旋转对称，120度和240度，三种反射对称，从每个绘制的线穿过对边的中点，一个恒等对称，对三角形不做任何改变。
这六种对称形成了一个封闭的元素宇宙，也就是一个群组，它的正式名称是s_3。
它们组成了一个组，因为您可以按任意顺序将任意数量的它们应用到三角形中，并且最终结果将与仅应用一个对称性相同。
例如，先反射三角形，然后将它旋转120度，重新排列，就像你仅仅执行了一个不同的对称变换一样。
数学家将两种对称的结合称为合成：一组反射与另一组旋转的一个组合产生第三组，称之为不同的反射。
你可以像数学家一样，把合成看作是乘法运算。
如果考虑非零实数，这是最容易看出的，它们也构成了一组。
实数有一个单位元素，用数字1。
任何与1组合或乘以1的实数保持不变。
你也可以乘任意实数的组合，以任何你想要的顺序，乘积总是一个实数。
数学家们说，实数组在乘法下是“封闭的”
，这意味着你不会仅仅通过元素的乘法就离开这个实数集群组。”
乔迪说：“要按照你说的那个例子，李群包含无限多个元素，而不是六个元素。”
伯恩赛德说：“没错，要解决一个重要的问题，往往需要理解与之相关的特定群组。
但是大多数群组比等边三角形的对称群组更难理解。
我们不可避免要面对表示理论的领域，它把有时神秘的群组的世界转换成充分约束的线性代数领域。”
乔迪说：“是的，它们编码质数、几何空间和几乎所有数学家最关心的东西的信息。”
伯恩赛德说：“只不过你要用矩阵，也就是线性代数来表示这些，里面就会出现扩大、平移、反转、剪切、选择和反射这样的词汇。
这些就相当与我们数学中的加减乘除这样的东西一般。”
乔迪说：“我刚刚想多了，还以为你找到你加减乘除模之外的新的运算方式呢。”
伯恩赛德说：“表示理论根据一定的规则，为群组中的每个元素分配一个矩阵，从而在群组理论和线性代数之间架起了一座桥梁。
例如，必须将群组中的单位元素分配为单位矩阵。
分配还必须尊重群组中元素之间的关系。
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